Kali ini rumus
matematika akan membahas materi mengenai transformasi
geometri. Mungkin teman-teman telah tahu tentang transformasi geometri,
untuk lebih memahami mengenai materi ini berikut ini akan dijelaskan secara
terperinci hal-hal mengenai transformasi geometri.
TRANSFORMASI GEOMETRI
Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu
bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi
yang dapat dilakukan antara lain :
Translasi (Pergeseran)
Refleksi(Pencerminan)
Rotasi(Perputaran)
Dilatasi(Penskalaan)
Berikut ini ilustrasinya :
TRANSLASI / PERGESERAN
Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai
koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:
Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai
translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :
dimana :
a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)
REFLEKSI / PENCERMINAN
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)
dicerminkan:
terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan
koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan
koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan
koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)
dicerminkan:
terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan
koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan
koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)
Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1)
dicerminkan:
terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan
koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan
koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)
Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b
Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y
Pencerminan terhadap titik (0, 0)
Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x
Pencerminan terhadap garis y = mx + c
Jika m = tan θ maka:
ROTASI / PERPUTARAN
Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda
negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi
tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)
dirotasi:
+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi
segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi
segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi
segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan
sebagai berikut :
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)
Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):
DILATASI / PENSKALAAN
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)
didilatasi:
dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0)
menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi
segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)
Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan
arah aslinya.
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k
Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat
dilatasi O(0, 0):
Selain 4 transformasi yang telah dijelaskan diatas, juga
terdapat 2 transformasi lagi yaitu shearing / gusuran dan stretching /
regangan. Perhatikan penjelasan dibawah ini :
GUSURAN/SHEARING
Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4,
6), D(1, 6) akan digusur:
menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala
k = 2 menjadi persegi panjang A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(6,
1), C2(16, 6), D2(13, 6)
menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala
k = 2 menjadi persegi panjang A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 3), B3(4,
9), C3(4, 14), D3(1, 8)
Pengaruh nilai k:
untuk gusuran menurut arah sumbu X → k positif arahnya
ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
untuk gusuran menurut arah sumbu Y → k positif arahnya
ke atas, k negatif arahnya ke bawah
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan sebagai
berikut :
Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k maka
:
Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k maka
:
STRETCHING / REGANGAN
Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4,
6), D(1, 6) diregangkan:
searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi
A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(12, 1), C2(12, 6), D2(3, 6)
searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi
A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 2), B3(4, 2), C3(4, 12), D3(1, 12)
Pengaruh nilai k:
untuk regangan searah sumbu X → k positif arahnya ke
kanan, k negatif arahnya ke kiri
untuk regangan searah sumbu Y → k positif arahnya ke
atas, k negatif arahnya ke bawah
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k
Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k
Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu
KOMPOSISI TRANSFORMASI
merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita
mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.
Komposisi Khusus :
1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang
sejajar
2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang
tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong
kedua sumbu tersebut.
3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan
ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan
sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.
4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen
dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.
LUAS HASIL TRANSFORMASI
Transformasi yang berupa translasi, refleksi,
dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda
Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A,
B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :
Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.
Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4
jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2
dengan pusat dilatasi O(0, 0)
Penyelesaian :
cara 1 : cara langsung
cara 2 : menggunakan matriks
Demikian informasi mengenai Transformasi Geometri,
semoga dapat bermanfaat dan dapat membantu lebih memahami materi tersebut dan
materi matematika pada umumnya.
